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周氏猜测:数学未解之谜

|2022/12/23 20:07:14|浏览:359|类型:问题

国际知名学者周海中经过长期而艰辛的探究,并根据已知的梅森素数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,在1992年正式提出了重要的数学猜想——周氏猜测。目前周氏猜测已成为著名的数学谜题,它有待于人们破解。

要谈周氏猜测,首先要知道什么是素数(又称质数)。它是指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数,如 2、3、5、7、11等等。换句话说,只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数;比1大但不是素数的数称为合数,1和0既非素数也非合数。

2300年前,古希腊数学家欧几里得用反证法证明了素数有无穷多个;他提出某些素数可写成2^p-1的形式,其中指数p也是一个素数,如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127、2^13-1=8191等。这种特殊形式的素数具有许多独特的性质和无穷的魅力,千百年来吸引着众多的数学家,如费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的数学爱好者对它进行探究。

2^p-1型素数称为梅森素数,它由梅森数(常记作Mp=2^p-1)而来;梅森素数和梅森数均以17世纪法国数学家马林·梅森命名,因为他做过较为系统且深入的探究。至今人们已发现51个梅森素数;其中第51个梅森素数2^82589933-1(即2的82589933次方减1)有24862048位,是目前已知的最大素数。如果用普通字号将它打印下来,其长度将超过100公里!

梅森素数探究是当今科学的一个重要研究领域。目前全球有200多个国家和地区近25万人参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,并动用了超过251万核中央处理器(CPU)来寻找新的梅森素数——这在数学史上前所未有,在科学史上也极为罕见。

人们在寻找梅森素数的同时,对这一素数的分布规律也做了研究。例如法国、英国、德国、美国、印度的数学家都尝试过这方面的研究,并以近似表达式给出了猜想;其结果均与实际情况有一定的差距,难以尽如人意。一直以来,人们都以为梅森素数的分布是随机的。然而,周海中却认为该素数的分布有规律可循,并以精确表达式给出了猜想。

周氏猜测的基本内容为:当2^(2^n)<p<2^(2^(n+1))时,Mp有2^(n+1)-1个是素数。周海中并据此做出推论:当p<2^(2^(n+1))时,Mp有2^(n+2)-n-2个是素数(注:p为素数;n为自然数; Mp为梅森数)。

众所周知,数学是以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所赏识的。它是理性思维和想象的结合,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科;它的发展建立于社会的需求,所以就有了数学美。数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的图形、美的公式、美的猜想等,而周氏猜测就具有数学美的特征。

美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为:“周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。”法籍华人数学家李明达在国际知名的《科学美国人》杂志上撰文也认为:周氏猜测是梅森素数研究中的一项重大突破。由中国数学家、中科院院士张景中主编的《30年科技成就100例》一书中特地指出:周氏猜测具有数学之美。

周氏猜测的表达式貌似简单,但破解(证明或证否)它的难度却很大。困扰数学界的这一猜测已有30年历史;不过就目前研究文献来看,许多数学家和数学爱好者都尝试过破解它,虽然绞尽脑汁,但仍一无所获。然而,我们坚信:随着数学方法和工具的改进,著名的数学谜题——周氏猜测最终会被破解。

文/万秀琴(作者单位:加拿大渥太华大学理学院)

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